Занимательная математика: правило Гаусса. Занимательная математика: правило Гаусса Сумма чисел от 1 до т

Занимательная математика: правило Гаусса. Занимательная математика: правило Гаусса Сумма чисел от 1 до т

Был ленив. Чтобы чем-то занять детей на долгое время, а самому вздремнуть, он попросил их сложить числа от 1 до 100.

Гаусс быстро дал ответ: 5050. Так быстро? Учитель не поверил, но юный гений оказался прав. Складывать все числа от 1 до 100 - это для слабаков! Гаусс нашёл формулу:

$$\sum_{1}^{n}=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{1}^{100}=\frac{100(100+1)}{2}=50\cdot 101=5050$$

Как это у него получилось? Давайте попробуем разобраться на примере суммы от 1 до 10.

Первый способ: разбить числа на пары

Запишем числа от 1 до 10 в виде матрицы c двумя строками и пятью столбцами:

$$\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end{array}\right)$$

Интересно, сумма каждого столбца равна 11 или $n+1$. И всего таких пар чисел 5 или $\frac{n}{2}$. Получаем нашу формулу:

$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=\frac{n}{2}\cdot(n+1)$$

Если нечетное число слагаемых?

Что, если сложить числа от 1 до 9? У нас не хватает одного числа для составления пяти пар, но мы можем взять ноль:

$$\left(\begin{array}{c}0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end{array}\right)$$

Сумма столбцов теперь равна 9 или ровно $n$. А количество столбцов? По-прежнему пять столбцов (спасибо нулю!), но теперь количество столбцов определяется как $\frac{n+1}{2}$ (y нас $n+1$ чиcел и вдвое меньше столбцов).

$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=\frac{n+1}{2}\cdot n$$

Второй способ: увеличить вдвое и записать в две строки

Мы немного по-разному считаем сумму чисел в этих двух случаях.
Может быть, есть способ одинаково посчитать сумму для четного и нечетного количества слагаемых?

Вместо того, чтобы делать из чисел своеобразную «петлю», давайте запишем их в две строки, при этом количество чисел умножим на два:

$$\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end{array}\right)$$

Для нечетного случая:

$$\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{array}\right)$$

Видно, что в обоих случаях сумма столбцов равна $n+1$, а количество столбцов $n$.

$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=n\cdot(n+1)$$

Но нам нужна сумма только одной строки, поэтому:

$$\frac{n\cdot(n+1)}{2}$$

Третий способ: сделать прямоугольник

Есть еще одно объяснение, давайте попробуем сложить крестики, допутим у нас есть крестики:

Похоже просто на другое представление второго способа - каждая последующая строка пирамидки имеет больше крестиков и меньше ноликов. Количество всех крестиков и ноликов - площадь прямоугольника.

$$Площадь=Высота\cdotШирина=n\cdot(n+1)$$

Но нам нужна сумма крестиков, поэтому:

$$\frac{n\cdot(n+1)}{2}$$

Четветрый способ: среднее арифметическое

Известно: $Среднее\ арифметическое=\frac{Сумма}{Количество\ членов}$
Тогда: $Сумма = среднее\ арифметическое\cdotКоличество\ членов$

Количество членов нам известно - $n$. А как выразить Cреднее арифметическое?

Заметьте, числа распределены равномерно. На каждое большое число приходится маленькое, расположенное на другом конце.

1 2 3, среднее 2

1 2 3 4, среднее 2.5

В этом случае среднее арифметическое - это среднее арфиметическое чисел 1 и $n$, тоесть $Среднее\ арифметическое=\frac{n+1}{2}$

$$Сумма = \frac{n+1}{2}\cdot n$$

Пятый способ: интеграл

Все мы знаем, что определенный интеграл вычисляет сумму. Посчитаем сумму от 1 до 100 интегралом? Да, но для начала давайте хотя бы найдем сумму от 1 до 3. Пусть наши числа будут функцией y(x). Нарисуем картинку:

Высоты трех прямоугольников - как раз числа от 1 до 3. Проведем прямую через середины «шапок»:


Неплохо было бы найти уравнение этой прямой. Она проходит через точки (1.5;1) и (2.5;2). $y=k\cdot x+b$.

$$\begin{cases}2.5k + b = 2\\1.5k + b = 1\end{cases}\Rightarrow k=1; b=-0.5$$

Таким образом, уравнение прямой, которой мы можем аппроксимировать наши прямоугольники $y=x-0.5$


Она отсекает от прямоугольников желтые треугольники, но «добавляет» к ним сверху голубые. Желтые равны голубым. Сначала убедимся, что использование интеграла ведёт к формуле Гаусса:

$$\int_{1}^{n+1} (x-\frac{1}{2}) \, dx = (\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}){|}^{n+1}_{1}=\frac{(n+1)^{2}}{2}-\frac{n+1}{2}=\frac{n^{2}+2n+1-n-1}{2}=\frac{n^{2}+n}{2}$$

Теперь посчитаем сумму от 1 до 3, по иксу берем от 1 до 4, чтобы все наши три прямоугольника попали в интеграл:

$$\int_{1}^{4} (x-\frac{1}{2}) \, dx = (\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}){|}^{4}_{1}=\frac{4^{2}}{2}-2-(0.5-0.5)=6$$

$$\int_{1}^{101} (x-\frac{1}{2}) \, dx = (\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}){|}^{101}_{1}=\frac{101^{2}}{2}-50.5-(0.5-0.5)=5100.5-50.5=5050$$

И зачем все это нужно?

$$\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}$$

В первый день на ваш сайт зашел один человек, на второй день двое… Каждый день количество посещений увеличивалось на 1. Сколько всего посещений наберет сайт к концу 1000-го дня?

$$\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}=\frac{1000^{2}}{2}+\frac{1000}{2} = 500000+500=500500$$

Цикл «Занимательная математика» посвящен деткам увлекающимся математикой и родителям, которые уделяют время развитию своих детей, «подкидывая» им интересные и занимательные задачки, головоломки.

Первая статья из этого цикла посвящена правилу Гаусса.

Немного истории

Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) с раннего детства отличался от своих сверстников. Несмотря на то, что он был из небогатой семьи, он достаточно рано научился читать, писать, считать. В его биографии есть даже упоминание того, что в возрасте 4-5 лет он смог скорректировать ошибку в неверных подсчетах отца, просто наблюдая за ним.

Одно из первых его открытий было сделано в возрасте 6 лет на уроке математики. Учителю было необходимо увлечь детей на продолжительное время и он предложил следующую задачку:

Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс справился с этим заданием достаточно быстро, найдя интересную закономерность, которая получила большое распространение и применяется по сей день при устном счете.

Давайте попробуем решить эту задачку устно. Но для начала возьмем числа от 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Посмотрите внимательно на эту сумму и попробуйте догадаться, что же необычного смог разглядеть Гаусс? Для ответа необходимо хорошо представлять себе состав чисел.

Гаусс сгруппировал числа следующим образом:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Таким образом маленький Карл получил 5 пар чисел, каждая из которых в отдельности в сумме дает 11. Тогда, чтобы вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 10 необходимо

Вернемся к первоначальной задаче. Гаусс заметил, что перед суммированием необходимо группировать числа в пары и тем самым изобрел алгоритм, благодаря которому можно быстро сложить числа от 1 до100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

    Находим количество пар в ряде натуральных чисел. В данном случае их 50.

    Суммируем первое и последнее числа данного ряда. В нашем примере — это 1 и 100. Получаем 101.

    Умножаем полученную сумму первого и последнего члена ряда на количество пар этого ряда. Получаем 101 * 50 = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Задачи на использование правила Гаусса

А сейчас вашему вниманию предлагаются задачи, в которых в той или иной степени используется правило Гаусса. Эти задачки вполне способен понять и решить четвероклассник.

Можно дать возможность ребенку порассуждать самому, чтобы он сам «изобрел» это правило. А можно разобрать вместе и посмотреть как он сможет его применить. Среди ниже приведенных задач есть примеры, в которых нужно понять как модифицировать правило Гаусса, чтобы его применить к данной последовательности.

В любом случае, чтобы ребенок мог оперировать этим в своих вычислениях необходимо понимание алгоритма Гаусса, то есть умение разбить правильно по парам и посчитать.

Важно! Если будет заучена формула без понимания, то это очень быстро будет забыто.

Задача 1

Найти сумму чисел:

  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
  • 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Решение.

Вначале можно дать возможность ребенку самому решить первый пример и предложить найти способ, при котором это сделать легко в уме. Далее разобрать этот пример вместе с ребенком и показать как это сделал Гаусс. Лучше всего для наглядности записать ряд и соединить линиями пары чисел, дающие в сумме одинаковое число. Важно, чтобы ребенок понял как образуются пары — берем самое маленькое и самое большое из оставшихся чисел при условии, что количество чисел в ряду четно.

  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
  • 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Задача 2

Имеется 9 гирь весом 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Можно ли разложить эти гири на три кучки с равным весом?

Решение.

С помощью правила Гаусса находим сумму всех весов:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Значит, если мы сможем сгруппировать гири так, чтобы в каждой кучке были гири суммарным весом 15г, то задача решена.

Один из вариантов:

  • 9г, 6г
  • 8г, 7г
  • 5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Другие возможные варианты найдите сами с ребенком.

Обратите внимание ребенка на то, что когда решаются подобные задачи лучше всегда начинать группировать с большего веса (числа).

Задача 3

Можно ли разделить циферблат часов прямой линией на две части так, чтобы суммы чисел в каждой части были равны?

Решение.

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим, делится ли она на 2:

Значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

Следовательно, надо провести линию на циферблате так, чтобы 3 пары попали в одну половину, а три в другую.

Ответ: линия пройдет между числами 3 и 4, а затем между числами 9 и 10.

Задача 4

Можно ли провести на циферблате часов две прямые линией так, чтобы в каждой части сумма чисел была одинаковой?

Решение.

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим делиться ли она на 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 делиться на 3 без остатка, значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линии на циферблате так, чтобы в каждую часть попали по 2 пары.

Ответ: первая линия пройдет между числами 2 и 3, а затем между числами 10 и 11; вторая линия — между числами 4 и 5, а затем между 8 и 9.

Задача 5

Летит стая птиц. Впереди одна птица (вожак), за ней две, потом три, четыре и т. д. Сколько птиц в стае, если в последнем ряду их 20?

Решение.

Получаем, что нам необходимо сложить числа от 1 до 20. А к вычислению такой суммы можно применить правило Гаусса:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Задача 6

Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

Решение.

Если ребенок решил и с пониманием разобрал примеры из задания 1, то тут же вспоминается, что 45 это сумма чисел от 1 до 9. Следовательно, сажаем кроликов так:

  • первая клетка — 1,
  • вторая — 2,
  • третья — 3,
  • восьмая — 8,
  • девятая — 9.

Но если ребенок сразу не может сообразить, то попробуйте натолкнуть его на мысль о том, что подобные задачи можно решить перебором и надо начинать с минимального числа.

Задача 7

Вычислить сумму, используя прием Гаусса:

  • 31 + 32 + 33 + … + 40;
  • 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
  • 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Решение.

  • 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
  • 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
  • 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Задача 8

Имеется набор из 12 гирек массой 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г. Из набора убрали 4 гирьки, общая масса которых равна трети общей массы всего набора гирек. Можно ли оставшиеся гирьки расположить на двух чашках весов по 4 штуки на каждой чашке так, чтобы они оказались в равновесии?

Решение.

Применяем правило Гаусса, чтобы найти общую массу гирек:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Вычисляем массу гирек, которые убрали:

Следовательно, оставшиеся гирьки (общей массой 78-26 = 52г) надо расположить по 26 г на каждую чашу весов, чтобы они оказались в равновесии.

Нам не известно какие гирьки были убраны, значит мы должны рассмотреть все возможные варианты.

Применяя правило Гаусса можно разбить гирьки на 6 пар с равным весом (по 13г):

1г и 12г, 2г и 11г, 3г и 10, 4г и 9г, 5г и 8г, 6г и 7г.

Тогда лучший вариант, когда при убирании 4 гирек уберутся две пары из приведенных выше. В этом случае у нас останутся 4 пары: 2 пары на одну чашу весов и 2 пары на другую.

Худший вариант — это когда 4 убранные гирьки разобьют 4 пары. У нас останутся 2 неразбитые пары общим весом 26г, значит их помещаем на одну чашу весов, а оставшиеся гирьки можно поместить на другую чашу весов и они тоже будут 26г.

Удачи в развитии Ваших детей.

Мы сегодня рассмотрим одну из математических задачек, что пришлось решать мне с племянником. И потом мы её реализуем через PHP. И рассмотрим несколько вариантов решения этой задачки.

Условие задачи:

Необходимо быстро сложить все числа от 1 до 100 друг за другом и узнать сумму всех чисел.

Решение задачи:

На самом деле, когда мы первый раз решали эту задачку, то мы решили её не правильно! Но мы не будем писать о неправильном решении данной задачки.

И решение такое простое и тривиальное - нужно сложить 1 и 100 и умножить на 50.(Такое решение было у Карла Гауса, когда он был совсем маленьким...)

(1 + 100)*50.

Как данную задачку решить через php?

Посчитать сумму всех чисел от 1 до 100 через PHP.

Когда мы уже решили эту задачку, то решили посмотреть, что пишут в «интеренетах» по данному вопросу! И нашел какую-то форму, где юные дарования не могли решить эту задачку и пытались сделать это через цикл.

Если специально не стоит условие, чтобы сделать именно через цикл, то и смысла делать это через цикл нет никакого!

И да! Не забываем, что в php можно решить задачу множеством способов! 1.

Данный код может складывать вообще любую последовательность чисел начиная с единицы и до бесконечности.

Давайте реализуем наше решение в самой простой форме:

$end = $_POST["peremennaya"];

$res = $end/2*($i + $end);

Результат:

Посчитать сумму всех чисел от любого числа до любого числа через PHP.

2.

И проверим передаваемые данные на число…

$two = strip_tags($_POST["peremennaya_2"]);

$tree = strip_tags($_POST["peremennaya_3"]);

if((is_numeric($two)) and (is_numeric($tree)))

$res = $tree/2*($two + $tree);

echo "Результат: ". $res;

echo " Не нужно совать в форму всякую хрень...";

Первый параметр равен нулю ($i=1), второй параметр менее или равно этому числу($i < $end;), которое будет оправлено через форму.

Покажем последовательность, как она будет увеличиваться с каждым новым витком цикла.

$end = strip_tags($_POST["peremennaya"]);

for ($i=1; $i < $end; $i++) {

$res = $res +$i;

echo $res."
";

("
Понравилось? Лайкни нас на Facebook